När uppstår flockimmunitet?

Frågan som många ställer är när flockimmunitet uppstår och spridningen av Covid-19 upphör om myndigheterna inte vidtar några åtgärder alls? Det bästa sättet att ta reda på det är antagligen att studera länder som inte har förutsättningar för att stänga ner ekonomin och/eller idka social distansering på samma sätt som exempelvis de nordiska länderna.

Som statistiknörd uppskattar jag Financial Times diagram mycket. Där kan man se hur antalet registrerade fall och antalet dödsfall i Covid-19 utvecklas i olika länder. 

Det vi helt nyligen upptäckt är att det så kallade seriella intervallet - den genomsnittliga tiden från det att en person blir smittad tills personen sprider smittan vidare - tycks vara väldigt olika i rika och fattiga länder. I många fattiga länder tycks det seriella intervallet ligga runt 20 dagar - i den här bloggposten utvecklar jag varför jag tror att så är fallet.

När vi tolkar statistiken från olika länder har vi tidigare utgått från att det seriella intervallet är lika långt oavsett om vi tittar på ett rikt eller ett fattigt land. Men tittar vi närmare på några relativt fattiga länder ser vi att konkaviteten i förloppet är mycket mindre i dessa länder än i de rika länderna. Faktum är att några länder har en närmast linjär process, vilket innebär att viruset sprider sig exponentiellt och gjort det alltsedan mars.

I diagrammet är Y-axeln logaritmisk, vilket innebär att en rak linje visar ett exponentiellt förlopp. Hade vi haft med New York City i diagrammet skulle vi fått en kurva som böjer av vid nivån 3000 dödsfall per miljon invånare. Det är ungefär vid den nivån som andelen smittade är så stort att flockimmuniteten börjar få betydelse.

Alla länder har dock inte geografiska förutsättningar för att viruset ska nå 30 procent av befolkningen. Det går därför inte att med säkerhet säga var de olika kurvorna i diagrammet kommer att böja av. Man kan dock göra prognoser som baseras på att länder som Indien och Sydafrika når lika hög smittonivå som New York - ett värstascenario.

Så var böjer kurvorna av om det enbart är flockimmuniteten som avgör saken och när händer det? Jag tror att svaret förvånar. Men för att kunna göra en prognos måste vi anta något om R - reproduktionstalet. I stället för att anta att det seriella intervallet är konstant och att R varierar antar vi att R är konstant och att det seriella intervallet varierar mellan olika länder - beroende på ländernas inkomstnivåer.

Jag antar till att börja med att R är 1,4 i samtliga länder. Det innebär att om antalet dödsfall fördubblas på 40 dagar blir det seriella intervallet 20 dagar. Skälet till att jag väljer 1,4 är att ett tal under 1,0 innebär att viruset slutar sprida sig. Ser vi att viruset fortsätter att sprida sig är detta ett tecken på att R är större än 1,0.

Samtidigt är det rätt slumpartat om R hamnar på 1,0 eller exempelvis 3,0. Det finns sjukdomar som har ett R på 14, men R för Covid-19 har i de rika länderna beräknats till ungefär 2,6. Eftersom viruset inte tycks sprida sig i alla länder antar jag att R ligger ganska nära 1,0 - samtidigt som det ter sig osannolikt att det skulle ligga exakt på 1,0 eller bara några tiondelar däröver. Siffran 1,4 ter sig därmed som ett rimligt värde. Det är också förenligt med att väldigt många länder lyckats begränsa spridningen långt innan flockimmunitet uppstått.

Fördubblingstakten för länderna i diagrammet är följande:

Indonesien: 30 dagar.

Indien: 30 dagar.

Sydafrika: 12 dagar.

Iran: 60 dagar.

Brasilien: 50 dagar.

Lägger vi på antagandet om att R är 1,4 får vi ett seriellt intervall på 15 dagar i Indonesien och Indien, 6 dagar i Sydafrika, 30 dagar i Iran och 25 dagar i Brasilien.

Siffrorna för de tre första länderna ter sig rimliga och kan vara en långsiktig jämvikt. Däremot är det mindre rimligt att det seriella intervallet skulle vara längre än 20 dagar, då sjukdomsförloppet sällan är längre än 40 dagar. Troligen befinner sig därför Iran och Brasilien i en instabil jämvikt, där R är mycket nära 1,0. Små förändringar i väder eller policy skulle därför kunna svänga utvecklingen och leda till att epidemin dör ut.

För Indonesien, Indien och Sydafrika ser utvecklingen däremot mycket stabil ut. Det är inte omöjligt att epidemin kommer att köra ända in i kaklet - alltså inte bromsa in förrän befolkningen uppnått flockimmunitet. Att utvecklingen varit exponentiell och med samma koefficient i två månader tyder på att kurvorna inte lär vika av i första taget.

Vi kan räkna baklänges med NYC som utgångspunkt för att få en prognos. Eftersom endast Indonesien, Indien och Sydafrika tycks ha en stabil utveckling utgår jag från dessa länders värden. Detta är antalet dödsfall per miljon invånare i dag:

Indonesien: 13

Indien: 16

Sydafrika: 60

För att uppnå flockimmunitet (30 procent smittade) krävs 3000 döda per miljon invånare. Antalet dagar tills denna nivå uppnås blir för respektive land:

Indonesien: 30*log(3000/13)/log(2) = 7,85*30 = 235 dagar

Indien: 30*log(3000/16)/log(2) = 7.55*30 = 226 dagar

Sydafrika: 12*log(3000/60)/log(2) = 3,91*12 = 47 dagar

Peaken för Indien och Indonesien ligger med andra ord långt in på nästa år, medan Sydafrika mycket väl kan nå sitt maximum redan om två månader - alltså den 11 september. Skulle dessa länder få en lika allvarlig utveckling som New York kommer antalet dödsfall i Covid-19 i världen att totalt uppgå till ungefär tio miljoner i början av nästa år - merparten i utvecklingsländer.

Faktorer som kan påverka den slutliga siffran är demografin i dessa länder och tillgången till sjukvård. Den förra variabeln talar för färre dödsfall, den senare faktorn talar för fler.